TMIMAT1607: LAPLACE

LAPLACE

Biografía

(Pierre-Simon, marqués de Laplace; Beaumont-en-Auge, Francia, 1749 - París, 1827) Matemático francés. Hijo de un granjero, inició sus estudios primarios en la escuela local, pero gracias a la intervención de D'Alembert, quien había quedado profundamente impresionado por un escrito del joven sobre los principios de la mecánica, pudo trasladarse a la capital, donde consiguió una plaza en la École Militaire.

Entre 1771 y 1789 desarrolló la mayor parte de su trabajo sobre astronomía, particularmente su estudio sobre las desigualdades planetarias, seguido por algunos escritos sobre cálculo integral y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Destaca entre su producción del período 1784-1787 la determinación de la atracción de un esferoide sobre una partícula situada en su exterior, para cuya determinación introduciría el análisis de armónicos o coeficientes de Laplace y el concepto de potencial.

En 1796 publicó su Exposición del sistema del mundo, en el que ofreció una versión divulgativa de las leyes de Newton y una exposición del sistema solar. Sus resultados analíticos sobre la mecánica estelar se publicaron en los cinco volúmenes del Tratado de mecánica celeste (1799-1825). En los dos primeros volúmenes describió métodos para el cálculo del movimiento de los planetas y sus satélites, y determinó sus trayectorias. El tercero contiene la aplicación de estos métodos y muchas tablas astronómicas.

En 1814, Laplace publicó un ensayo sobre probabilidades orientado al lector profano, que le serviría de base para la segunda introducción de su Teoría analítica de las probabilidades (tratado publicado en 1812), donde incluyó una exposición del método de los mínimos cuadrados, base de toda la teoría de los errores.

Obra

Exposition du systeme du monde (1796)
En esta obra se presenta, de forma resumida, la historia de la astronomía. Se suele considerar este texto como una de las obras maestras de la literatura en su idioma y procura a su autor el honor de entrar en la Academia Francesa en 1816.Demuestra que los movimientos planetarios son estables y que las perturbaciones producidas por la influencia mutua de los planetas o por cuerpos externos, como los cometas, solamente son temporales. Trata de dar una teoría racional del origen del Sistema Solar en su hipótesis nebular de la evolución estelar.
Traite de mecanique celeste (1799-1825) con el Tratado de Mecánica Celeste, monumental obra en 5 volúmenes publicados entre 1799 y 1825, se culmina el trabajo de más de un siglo de duración durante el cual los científicos intentarón dar una explicación matemática de la teoría de la gravitación universal basada en los principios de Newton.
Théorie Analytique des Probabilités (1812) Con la Teoría Analítica de las Probabilidades, expone los principios y las aplicaciones de lo que él llama "geometría del azar". Esta obra representa la introducción de los recursos del análisis matemático en el estudio de los fenómenos aleatorios y recopila toda una serie de memorias publicadas desde 1771.

Ensayo filosófico sobre el fundamento de las probabilidades (1814) Laplace pretende que esta esta obra represente respecto a la Teoría Analítica de las Probabilidades lo que ha significado Exposición del Sistema del Mundo respecto a Mecáncia Celeste. Es decir, dar a conocer los principios y aplicaciones de la geometría del azar pero sin aparato matemático alguno.

Modelo de Laplace

Su definición nos dice que:

sea E un experimento cualquiera y S el conjunto finito de sus resultados posibles tal que

S = \{a_1,..,a_k\}

si suponemos que cada resultado es equiprobable (que ninguno tenga más oportunidades que otro), entonces

P(\{a_i\})=p

Si queremos que P sea una función de probabilidad tal que

P(S) = 1 = \sum_{i=1}^{k} P(\{a_i\})

entonces

p = 1/k

Sea A un subconjunto de S tal que

A = \{a_1,..,a_r\}

entonces

P(A) = \sum_{i=1}^{r}p(\{a_i\})\ = r*p = r/k = |A|/|S|

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\varepsilon}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

$F_B(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).