TARTAGLIA

TARTAGLIA

Biografía

(Brescia, actual Italia, 1499 - Venecia, 1557) (Niccolo Fontana) Matemático italiano. Durante la ocupación francesa de Brescia su padre fue asesinado y él mismo dado por muerto a causa de sus graves heridas, una de las cuales, un golpe de sable en la mandíbula, le provocaría un defecto en el habla que lo acompañaría toda su vida y le valdría su sobrenombre (tartaglia, esto es, tartamudo). De origen muy humilde, su familia no pudo proporcionarle ningún tipo de educación, de modo que el joven Tartaglia tuvo que aprenderlo todo por su cuenta. Ya adulto, se ganó la vida como profesor itinerante (según permiten conocer sus obras, vivió en Verona, Mantua y Venecia) y a través de su participación en concursos matemáticos. En uno de ellos se planteó la resolución de diversas ecuaciones de la forma x³ + px = q; Tartaglia consiguió averiguar la solución general y obtuvo el premio. Más adelante reveló su método a Gerolamo Cardano, bajo la firme promesa de mantener el secreto, pero éste acabó publicándolo en su Ars magna de 1545.

Después de que Gerolamo Cardano rompiera su promesa de mantener en secreto su resolución de las ecuaciones de tercer grado, Tartaglia se decidió a publicar la importante obra Problemas e invenciones varias (1546), cuyos cuatro primeros libros se refieren a la balística y al arte militar, el quinto a la topografía, y los tres siguientes a las fortificaciones y a la estática; muy interesante resulta el noveno, que trata del álgebra y de la resolución de las ecuaciones de tercer grado y de los problemas correspondientes. La parte dedicada al arte de la fortificación fue la que atrajo más la atención de sus contemporáneos: a consecuencia de la invención de la pólvora pírica, el arte de la guerra había experimentado profundas transformaciones que hacían necesarios nuevos medios de ofensiva, y un estudio que sirviese para aumentar su potencia y la precisión en relación con la nueva técnica de fortificar.

Tartaglia destaca asimismo en los estudios de matemáticas por su traducción italiana de los Elementos de Euclides (1543) y por la de De insidentibus aquae de Arquímedes; de esta última obra publicó además un amplio comentario con paráfrasis, que utilizó posteriormente en La invención elaborada (1551), donde se trata del sistema adecuado para llevar nuevamente a flote las naves hundidas.

 Obras

La obra más extensa de Tartaglia es el incompleto Tratado general de números y medidas (1556-60), una vasta enciclopedia un tanto desordenada dividida en seis partes; las dos primeras partes fueron publicadas en Venecia el año 1556, y las otras cuatro, póstumamente, en 1560. La primera parte es un tratado muy extenso de aritmética practica, y la segunda estudia la aritmética teórica sobre la base de la representación geométrica euclidiana; es notable en ella el desarrollo de las once primeras potencias del binomio con el triángulo de los coeficientes. La tercera, en cambio, es una exposición de geometría práctica, en la que erróneamente se identifica a Euclides, autor de los Elementos, con Euclides de Mégara, atribuyéndole la definición de la recta como línea de longitud mínima.

La cuarta parte se ocupa de la geometría especulativa, y en la quinta parte los desarrollos geométricos, primero en el plano y después en el espacio, amplían los ya contenidos en los Elementos de Euclides. La sexta parte inicia el tratado del álgebra, pero se limita a exponer las ecuaciones de segundo grado o las que son reducibles a tal categoría; el fallecimiento del autor impidió que llegase a exponer las ecuaciones de tercer grado, que son las que más interesan para la historia de las matemáticas. La obra se difundió rápidamente por Italia y fue muy conocida y apreciada también en el extranjero.

Triángulo de Tartaglia

Cuando la suma de dos términos elevamos al cuadrado vemos que la parte literal de los términos (de momento no tenemos en cuenta los coeficientes o parte numérica de los términos resultantes) sigue una ley sencilla e interesante:

Podríamos escribir también:

Recuerda que una potencia de exponente cero vale 1. Como a0 y b0 valen 1 cualquier valor por 1 no cambia el resultado.

Si te fijas bien en el resultado, los exponentes de a van decreciendo de uno en uno. Comienza en 2 y acaba en cero.

Los exponentes de b hacen lo contrario, comienzan por cero y acaban en 2.

Supongamos que tenemos: o el cubo de la suma de dos números, la parte literal del resultado sería teniendo en cuenta lo que acabamos de estudiar:

Los exponentes de a van decreciendo de uno en uno y los de b crecen de uno en uno. Verás, que siempre, el grado de cada término equivale al exponente al que elevamos la suma de los dos números.
Veamos el resultado de elevar a la cuarta potencia:

Observa que la suma de exponentes de la parte literal de cada término siempre será igual a la potencia a la que hemos elevado el binomio.
De ahora en adelante, omitimos los exponentes de exponente cero por valer 1. Da igual que a un número lo multipliques o no por 1, continua con el mismo número:

 Resolución de la ecuación de tercer grado

Sea una ecuación de tercer grado cualquiera, por ejemplo x³ — 5x² + 17x — 13 = 0. Su resolución, según Tartaglia y Cardano, es la siguiente: 

Se reduce a la forma X³ + pX + q = 0, mediante el cambio de variable oportuno.

En este caso X = x + 2.

La ecuación anterior se convierte en:

           X³—18X—35 = 0                    (I) 

Haciendo un nuevo cambio de variable: X = u + v, y teniendo en cuenta que:

 (u + v)³ = u³ + 3uv v (u + v) + v³, resulta:  

X³ = u³+ 3u.v(u+v)+v³ = u³+3uvX+v3X³-3uvX-(u³+v³)    (II)

Comparando las ecuaciones (I) y (II) se llega a:

3u v = 18
u³ + v³ = 35

El sistema anterior se puede resolver de la siguiente manera: 

(u³ + v³)² = 35² ==> u⁶ +2u³ v³ + v⁶ = 1225 ==> u⁶ – 2u³ v³+ 4u³ v³ + v⁶ = 1225

==> (u³—v³)²= 1225-4u³. v³ ==> (u³—v³)² = 1225—4.(18/3)³ = 1225-864 = 361 ==> u³-v³ = 19

Por tanto, el sistema queda reducido a: 

u³+v³ = 35
u³—v³ = 19

Resolviéndolo, se obtiene u = 3, y = 2. Deshaciendo los cambios de variable:

 X = u + v = 5 x = X – 2 = 3 

Por tanto, x = 3 es una raíz de la ecuación inicial de tercer grado, por lo que se puede expresar:

(x —3) (x² + 9x + 21) = 0

 

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen las otras dos soluciones. En este caso existen para ella soluciones complejas, concretamente 

x = —9/2 + 3/2 i, x = —9/2 — 3/2 i.

 He sacado la información de:

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