EMMY NOETHER

EMMY NOETHER

Biografía

(Amalie Emmy Noether; Erlangen, Alemania, 1882 - Bryn Mawr, Estados Unidos, 1935) Matemática alemana. Hija del eminente matemático Max Noether, hubo de asistir a las clases impartidas por su padre como oyente, dada la imposibilidad de matricularse en la universidad por su condición de mujer. 

Finalmente fue admitida en Erlangen, donde en 1907 se doctoró con un célebre trabajo sobre los invariantes; sus estudios en este campo fueron inmediatamente apreciados por Albert Einstein, que se serviría de sus aportaciones para la formulación de algunos aspectos de la relatividad general. David Hilbert la invitó a impartir una serie de conferencias en Gotinga, pero la oposición de parte del profesorado únicamente le permitió acceder a un puesto no oficial de profesora asociada. 

La ascensión de los nazis al poder forzó su exilio en Estados Unidos; se estableció en Nueva Jersey, donde prosiguió con sus trabajos en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y como profesora en Bryn Mawr. 

Las investigaciones de Emmy Noether ejercieron una amplia y profunda influencia en el desarrollo del álgebra moderna y de la topología. Noether estudió los conceptos matemáticos de anillo e ideal, unificó en un solo cuerpo teórico las diferentes aproximaciones anteriores y reformuló en el marco del mismo la teoría de los invariantes algebraicos; dotó de ese modo de un nuevo enfoque a la geometría algebraica.

Obra

Primera época (1908-19)

Teoría de la invariante algebraica

La teoría de los invariantes trata de las expresiones que permanecen constantes (invariantes) bajo grupos de transformaciones. 

El ejemplo arquetípico de una invariante es el discriminante B² − 4AC de una forma binaria cuadrática de Ax² + Bxy + Cy². A esta se le llama invariante porque no cambia por substituciones lineales x→ax + by, y→cx + dy con determinante ad − bc = 1. Estas substituciones forman el grupo lineal especial SL₂. (No hay invariantes bajo el grupo lineal general de todas las transformaciones lineales invertibles porque estas transformaciones pueden ser multiplicación por un factor escalar. Para remediarlo, la teoría clásica de los invariantes también considera invariantes relativas, que eran formas de invariancia salvo un factor escalar).

Una de las principales metas de la teoría de los invariantes es resolver el "problema de base finita". La suma o producto de dos invariantes cualesquiera es un invariante, y el problema de la base finita planteaba si era posible obtener todos los invariantes comenzando por una lista finita de invariantes, llamados generadores, y después añadir o multiplicar los generadores entre sí.   

 

Teoría de Galois

La teoría de Galois trata de las transformaciones de cuerpos numéricos que permutan las raíces de una ecuación. 

Ya que el grupo de Galois no cambia el cuerpo base, deja los coeficientes del polinomio inalterados, de modo que debe también dejar inalterado el conjunto de todas las raíces. Sin embargo, cada raíz puede transformarse en otra raíz, de modo que la transformación determina una permutación de n raíces entre sí mismas.

Noether publicó un artículo de gran importancia sobre el problema inverso de Galois. En lugar de determinar el grupo de Galois de transformaciones de un cuerpo dado y su extensión, Noether se preguntó si, dado un cuerpo y un grupo, siempre es posible encontrar una extensión del cuerpo que tenga al grupo dado como su grupo de Galois. Redujo esto al llamado problema de Noether, que pregunta si el cuerpo fijo de un subrupo G del grupo de permutaciones S_n actuando sobre el cuerpo k(x₁, ... , x_n) es siempre una extensión trascendente pura del cuerpo k.

Segunda época (1920-26)

Condiciones ascendentes y descendentes de cadena

Se dice que una sucesión de subconjuntos no vacíos A₁, A₂, A₃, etc. de un conjunto S es estrictamente ascendente si cada uno es un subconjunto del siguiente.

La condición de cadena ascendente requiere que estas sucesiones se descompongan después de un número finito de pasos. 

Las condiciones ascendentes y descendentes de cadena son generales, es decir, se pueden aplicar a muchos tipos distintos de objetos matemáticos, y a primera vista no parecen muy potentes. Sin embargo Noether mostró cómo explotar esas condiciones para obtener las máximas ventajas.

Muchos tipos de objetos en un álgebra abstracta pueden satisfacer las condiciones de cadena, y habitualmente si satisfacen una condición ascendente de cadena se llaman noetherianos en su honor. Por definición, un anillo noetheriano satisface una condición ascendente de cadena en sus ideales izquierdo y derecho, mientras que un grupo noetheriano se define como un grupo en el que toda cadena estrictamente ascendente de subgrupos es finita. Un módulo noetheriano es un módulo en el que toda cadena estrictamente ascendente de submódulos se descompone después de un número finito. Un espacio noetheriano es un espacio topológico en el que toda cadena estrictamente ascendente de subespacios abiertos se descompone después de un número finito de términos.

Otra aplicación de estas condiciones de cadena es la inducción noetheriana —también conocida como orden bien fundamentado— que es una generalización de la inducción matemática. Frecuentemente se usa para reducir proposiciones generales sobre colecciones de objetos a proposiciones sobre objetos en particular de esa colección.

Teoría de la eliminación

Noether aplicó su teoría de ideales a la teoría de la eliminación mostrando que los teoremas fundamentales de la factorización de polinomios podían trasladarse directamente. Tradicionalmente, la teoría de la eliminación se ocupa de la eliminación de una o más variables de un sistema de ecuaciones polinómicas, habitualmente mediante el método de las resultantes. Para ilustrar este punto, un sistema de ecuaciones frecuentemente puede escribirse como el producto de una matriz M (cuyos elementos son los coeficientes) por un vector v (cuyas componentes son las potencias sucesivas de x) que se iguala al vector cero, M•v = 0. Como consecuencia, el determinante de la matriz M debe ser igual a cero, lo que da lugar a una nueva ecuación en la que la variable x ha sido eliminada.

Tercera época (1927-35)

Números hipercomplejos y teoría de la representación

 Se habían llevado a cabo muchos trabajos sobre los números hipercomplejos y representaciones de grupo a principios del siglo XX, pero seguían siendo dispares. Noether unificó los resultados y dio la primera representación general de la teoría de grupos y álgebras. En resumen, Noether subsumió la teoría estructural del álgebra asociativa y de la representación de grupos en una única teoría aritmética de módulos e ideales que satisfacen las condiciones ascendentes de cadena. Este único trabajo de Noether es de fundamental importancia para el desarrollo del álgebra moderna.

Álgebra no conmutativa

Un artículo muy influyente publicado por Noether, Helmut Hasse, y Richard Brauer trató de las álgebras de división, que son aquellos sistemas algebraicos en los que es posible la división. Probaron dos teoremas importantes; un teorema local-global que afirma que si un álgebra de división finita dimensional central sobre un cuerpo numérico algebraico se descompone localmente en cualquier elemento, entonces se descompone también globalmente (con lo que es trivial), y de esto dedujeron su teorema principal (Hauptsatz): todo álgebra de división central finito-dimensional sobre un cuerpo numérico algebraico F se descompone sobre una extensión cíclica ciclotómica. Estos teoremas permiten clasificar todas las álgebras de división finito dimensionales y centrales sobre un cuerpo numérico dado. Un artículo posterior mostró, como un caso especial de un teorema más general, que todos los subcuerpos maximales de un álgebra de división D son cuerpos de descomposición. Este artículo también contiene el teorema de Skolem-Noether que afirma que dos inclusiones de una extensión de un cuerpo K en un álgebra simple central finito-dimensional sobre K, son conjugados. El teorema de Brauer-Noether ofrece una caracterización de los cuerpos de descomposición de un álgebra de división central sobre un cuerpo.

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SOFÍA KOWALEVSKY

SOFÍA KOWALEVSKY

Biografía

(Sofía Vasílievna Kovalevskaya o Kovaliévskaia; Moscú, 1850 - Estocolmo, 1891) Fue la primera matemática rusa de importancia y la primera mujer que consiguió una plaza de profesora universitaria en Europa (Suecia, 1881). Nacida y criada en el seno de una familia gitana rusa de buena formación académica. Sofía, era también descendiente de Matías Corvino, rey de Hungría. Su abuelo, por casarse con una gitana y estar emparentado con dicha etnia, perdió el título hereditario de príncipe.

Vivió su infancia en Palibino, Bielorrusia. Sofia amaba desde niña la lectura y la poesía, se sentía poeta en su interior. Además de su hermana, dos de sus tíos influyeron notablemente en su vida. Uno de ellos, un auténtico amante de la lectura y aunque no era matemático le apasionaba esta ciencia; su otro tío le enseñaba ciencias y biología. A menudo se sentaba en un banco del patio para ver mecerse con el oleaje, provocado por el viento, la pelota del estanque quedándose sumergida en sus pensamientos matemáticos.

Bajo la guía del tutor de su familia, Y. I. Malevich, Sofía comenzó sus primeros estudios reales de matemáticas. A los trece años empezó a mostrar muy buenas cualidades para el álgebra. Por esa época escribió: «Comencé a sentir una atracción tan intensa por las matemáticas, que empecé a descuidar mis otros estudios». Pero su padre, a quien le horrorizaban las mujeres sabias, decidió interrumpir las clases de matemáticas de su hija. Aun así Sofia siguió estudiando por su cuenta con libros de álgebra. Pidió prestado un ejemplar del Álgebra de Bourdeu que leía a la noche cuando el resto de la familia dormía. Así, aquello que nunca había estudiado lo fue deduciendo poco a poco. Un año más tarde un vecino, el Profesor Tyrtov, presentó a la familia de Sofía un libro del que él era autor y Sofía trató de leerlo. No entendió las fórmulas trigonométricas e intentó explicárselas a sí misma.

Sofia, a partir de los conocimientos que ya tenía, explicó y analizó por sí misma lo que era el concepto de seno tal y como había sido inventado originalmente. Un profesor descubrió las facultades de Sofia, y habló con su padre para recomendarle que facilitara los estudios a su hija. Al cabo de varios años su padre accedió y Sofia comenzó a tomar clases particulares.

Los años de su adolescencia fueron años de rebelión, la época de las grandes revoluciones y manifestaciones de siglo XIX en las que el socialismo feminista iba perdiendo terreno. Su apellido de soltera era Korbin-Kukóvzkaya y era descendiente de un rey de Polonia. A los once años se enamora del escritor F. D., exnovio de su hermana. Más tarde, al casarse, adopta el apellido del marido.

Kovalevskaya murió de gripe a los cuarenta y un años, luego de un viaje de placer a Génova. Sus restos descansan en Suecia.

Doctorado

Al mismo tiempo que estudiaba, comenzaba su trabajo de doctorado. Durante sus años en Berlín escribió tres tesis: dos sobre temas de matemáticas y una tercera sobre astronomía. Más tarde el primero de estos trabajos apareció en una publicación matemática a la que contribuían las mentes más privilegiadas.

Obras

Entre sus trabajos figuran: Sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales, que aparece en el Journal de Crelle, y Sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo, por el cual obtiene un importante premio otorgado por la Academia de Ciencias de París, en 1888.

El teorema de Cauchy-Kovalévskaya formaba parte del trabajo por el que obtuvo el doctorado. Fue publicado en Crelle´s Journal. Es un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación en derivadas parciales de orden k con condiciones iniciales para funciones analíticas. En 1842 Cauchy había demostrado la existencia de solución de una ecuación en derivadas parciales lineales de primer orden. En la misma época, Weierstrass, que no conocía los trabajos de Cauchy, demostró la existencia y "unicidad" de la solución para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y propone a Sonia extender estos resultados a un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Este teorema, elaborado independientemente del de Cauchy, generaliza sus resultados y establece unas demostraciones tan simples, completas y elegantes que son las que se exponen en la actualidad en los libros de Análisis.

Posiblemente la investigación más importante fue la que realizó sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo por la que recibió el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París y más tarde el premio de la Academia de Ciencias de Suecia. Ambos trabajos fueron publicados en el Acta Mathematica. Una de las aplicaciones más importantes de la mecánica newtoniana es el estudio del movimiento de un cuerpo. Leonhard Euler (1758) había resuelto el problema cuando el punto respecto al que gira es el centro de gravedad. J. L. Lagrange (1811-1815), el de un cuerpo de revolución que gira alrededor de un eje. Pero estaba sin resolver el caso general. La Academia de Ciencias de Prusia había propuesto este problema para un concurso los años 1855 y 1858, pero nadie se había presentado. Sofia resolvió de forma analítica las ecuaciones del movimiento. Planteó un sistema de seis ecuaciones diferenciales, consideró el tiempo como una variable compleja y analizó los casos en los que las seis funciones implicadas, las tres componentes del vector velocidad angular y las tres del vector unitario vertical (aceleración de la gravedad), eran funciones meromorfas del tiempo, con este planteamiento los movimientos estudiados por Euler y Lagrange eran casos particulares, además encontró un tercer caso y lo estudió. Con ello este problema quedaba analíticamente resuelto.

 

 

Honores

Entre otros honores póstumos, el cráter lunar Kovalevskaya lleva su nombre y la Fundación Alexander Von Humboldt de Alemania entrega el premio Sofia Kovalevskaya a los investigadores jóvenes más prometedores.

 

 

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SOPHIE GERMAIN

SOPHIE GERMAIN

Biografía

Matemática francesa. Nació el 1 de abril de 1776 en París.

Hija de Ambroise-Francoise Germain, que llegó a ser presidente del Banco de París.

Vivió en una era de preconceptos y chovinismo, y para realizar sus investigaciones se vio obligada a asumir una identidad falsa, estudiar en condiciones terribles y trabajar en aislamiento intelectual.

Al no poder asistir a la escuela porque no aceptaban mujeres, se las arreglaba para recibir apuntes de los profesores. Se inscribió en la Escuela Politécnica de París con el nombre de un antiguo alumno de la misma y algunos profesores de gran relevancia se fijaron en este alumno y aunque pronto descubrieron su verdadero sexo, la protegieron.

En 1801, comunicó al matemático alemán Carl Gauss, unos resultados que le parecían interesantes sobre teoría de números, y nuevamente firmó M. LeBlanc, estudiante de l' Ecole Polytechnique; a partir de entonces estableció con Gauss una correspondencia regular. En 1816, siendo ya muy apreciada en los círculos matemáticos, alcanzó la celebridad al obtener el premio propuesto por la Academia de las Ciencias sobre la teoría de las superficies elásticas, cuestión sometida ya tres veces a concurso y quedando hasta entonces desierto. Realizó descubrimientos importantes en teoría de números, en física matemática, acústica y elasticidad.

Sophie Germain iba a recibir el título de Doctor Honoris Causa de la Universidad de Gottingen en la que trabajaba Gauss, pero murió un mes antes de la fecha, el 26 de Junio de 1831 en París debido a un cáncer de mama.

 

Teorema de Sophie Germain

 El teorema de Sophie Germain dice que si n es un número primo y 2n+1 también es primo, entonces el primer caso del teorema de Fermat es verdadero (cuando ninguno de los tres números es divisible por n). A esos números terminaron llamándoles números primos de Sophie Germain y forman una sucesión 2, 3, 5, 11, 23,28,...

Teoría de la elasticidad 

Descubrir las ecuaciones diferenciales de las superficies vibrantes parecía demasiado difícil a los ojos de la mayor parte de los matemáticos. A pesar de las lagunas de su formación, o quizás por ello, Sophie fue la única concursante. Lo tomó como un reto, y el 21 de septiembre de 1811 presentó una memoria a la Academia, pero su trabajo fue considerado incompleto e incorrecto, y el jurado decidió posponer dos años más el premio. Lagrange corrigió el análisis matemático y obtuvo, a partir de la hipótesis de Sophie, la base para describir el comportamiento estático y dinámico de las placas en puntos del interior.

En esta memoria y por analogía con los trabajos de Euler en el caso unidimensional de la cuerda vibrante, Sophie postula que “en un punto de la superficie la fuerza de elasticidad es proporcional a la suma de las curvaturas principales de la superficie en dicho punto”, que es lo que siempre llamará “mi hipótesis”. A partir de una supuesta relación de equilibrio y utilizando varias hipótesis sobre los desplazamientos y rotaciones de la placa obtenía una ecuación en derivadas parciales de sexto orden en la que buscaba soluciones regulares, en casos particulares, mediante series trigonométricas.

Aunque, en efecto, varios puntos de su trabajo son discutibles, la idea de que la suma de las curvaturas principales en una superficie tiene el mismo papel que la curvatura en el caso unidimensional de la cuerda vibrante es original. Además Sophie no se desalentó sino que, animada de que Lagrange hubiera utilizado con éxito su idea, siguió trabajando con el objetivo de justificar su hipótesis con consideraciones geométricas sobre la deformación de un plano y comparando sus cálculos con las experiencias de Chladni y con otras muchas que realizó ella misma. En 1813 presentó la segunda memoria, por la que obtuvo una mención de honor ya que sus deducciones teóricas explicaban los resultados experimentales.

En 1814 Poisson redactó un trabajo sobre el mismo asunto que leyó el día 1 de agosto de ese mismo año, ante los componentes de la Primera Clase del Instituto de Francia, de la que formaba parte. Comenzó criticando el enfoque de los trabajos anteriores sobre este tema de Leonhard Euler, Jacques Bernouilli y por último de la memoria anónima que el año anterior había recibido una mención de honor. Poisson era discípulo de Laplace y compartía con él la teoría “molecular” que intentaba explicar todos los fenómenos físicos con el modelo de la física newtoniana, es decir, por un conjunto de fuerzas atractivas o repulsivas. Desde este punto de vista, considerando el equilibrio de una sola molécula de la superficie elástica, obtuvo una ecuación, horrible, no lineal y además falsa, que por simplificaciones “milagrosas” se convertía en la ecuación de la segunda memoria de Sophie que, en ese momento, había ganado credibilidad. No la publicó, supuestamente, para no influir en el concurso que había sido convocado de nuevo, pero apareció un resumen de la misma en el “Bulletin de la Societé Philomatique” y en la “Correspondence de l'Ecole Polytecnique”. Sophie, que no tuvo acceso a ella y sólo pudo leer dicho resumen, en un principio se desalentó pero, más tarde, saber que Poisson había llegado a la misma ecuación que ella, le animó a continuar sus investigaciones y presentó otro estudio en 1815.

Este tercer trabajo: “Mémoire sur les Vibrations des Surfaces Élastiques”, por el que se le concedió, al fin, el premio extraordinario de la Academia, suponía una defensa de la legitimidad de su hipótesis a la vez que un ataque al modelo laplaciano y a la teoría molecular. También, en ella, se proponía matematizar el concepto de forma de una superficie y el de deformación. Planteaba que, considerando en un punto dado, la suma de las curvaturas relativas a todas las curvas producidas por las diferentes secciones de la superficie que pasan por la normal se obtendría una expresión que matematizaba la forma de la superficie en un punto. Por lo tanto estaba proponiendo, implícitamente, un procedimiento integral para definir la curvatura en el espacio... Además establecía que esta suma infinita se reducía a las dos curvaturas principales, es decir, las curvaturas máxima y mínima.

En 1821 la publicó, por cuenta propia, con el título “Recherches sur la théorie des surfaces élastiques” posiblemente con objeto de pasar a la posteridad, que ningún colega se apropiara de sus investigaciones, o a causa de su rivalidad con Poisson, que en su trabajo de 1814 había utilizado los resultados de su segunda memoria.

En 1826 publicó “Remarques ...” y en 1828 “Examen des Principes …”. En estas dos memorias sus objetivos son, además de una intervención implícita en la polémica suscitada entre Poisson y Navier sobre la teoría de la elasticidad, replantear su trabajo y, sobre todo, su enfoque, radicalmente opuesto al paradigma molecular y en particular al de Poisson.

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LAPLACE

LAPLACE

Biografía

(Pierre-Simon, marqués de Laplace; Beaumont-en-Auge, Francia, 1749 - París, 1827) Matemático francés. Hijo de un granjero, inició sus estudios primarios en la escuela local, pero gracias a la intervención de D'Alembert, quien había quedado profundamente impresionado por un escrito del joven sobre los principios de la mecánica, pudo trasladarse a la capital, donde consiguió una plaza en la École Militaire. 

Entre 1771 y 1789 desarrolló la mayor parte de su trabajo sobre astronomía, particularmente su estudio sobre las desigualdades planetarias, seguido por algunos escritos sobre cálculo integral y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Destaca entre su producción del período 1784-1787 la determinación de la atracción de un esferoide sobre una partícula situada en su exterior, para cuya determinación introduciría el análisis de armónicos o coeficientes de Laplace y el concepto de potencial. 

En 1796 publicó su Exposición del sistema del mundo, en el que ofreció una versión divulgativa de las leyes de Newton y una exposición del sistema solar. Sus resultados analíticos sobre la mecánica estelar se publicaron en los cinco volúmenes del Tratado de mecánica celeste (1799-1825). En los dos primeros volúmenes describió métodos para el cálculo del movimiento de los planetas y sus satélites, y determinó sus trayectorias. El tercero contiene la aplicación de estos métodos y muchas tablas astronómicas.

En 1814, Laplace publicó un ensayo sobre probabilidades orientado al lector profano, que le serviría de base para la segunda introducción de su Teoría analítica de las probabilidades (tratado publicado en 1812), donde incluyó una exposición del método de los mínimos cuadrados, base de toda la teoría de los errores.

Obra

• Exposition du systeme du monde (1796)
  En esta obra se presenta, de forma resumida, la historia de la astronomía. Se suele considerar este texto como una de las obras maestras de la literatura en su idioma y procura a su autor el honor de entrar en la Academia Francesa en 1816.Demuestra que los movimientos planetarios son estables y que las perturbaciones producidas por la influencia mutua de los planetas o por cuerpos externos, como los cometas, solamente son temporales. Trata de dar una teoría racional del origen del Sistema Solar en su hipótesis nebular de la evolución estelar.
  
  
• Traite de mecanique celeste (1799-1825) con el Tratado de Mecánica Celeste, monumental obra en 5 volúmenes publicados entre 1799 y 1825, se culmina el trabajo de más de un siglo de duración durante el cual los científicos intentarón dar una explicación matemática de la teoría de la gravitación universal basada en los principios de Newton.
  
• Théorie Analytique des Probabilités (1812) Con la Teoría Analítica de las Probabilidades, expone los principios y las aplicaciones de lo que él llama "geometría del azar". Esta obra representa la introducción de los recursos del análisis matemático en el estudio de los fenómenos aleatorios y recopila toda una serie de memorias publicadas desde 1771.

• Ensayo filosófico sobre el fundamento de las probabilidades (1814) Laplace pretende que esta esta obra represente respecto a la Teoría Analítica de las Probabilidades lo que ha significado Exposición del Sistema del Mundo respecto a Mecáncia Celeste. Es decir, dar a conocer los principios y aplicaciones de la geometría del azar pero sin aparato matemático alguno.
  

Modelo de Laplace 

Su definición nos dice que:

sea E un experimento cualquiera y S el conjunto finito de sus resultados posibles tal que ,

si suponemos que cada resultado es equiprobable (que ninguno tenga más oportunidades que otro), entonces .

Si queremos que P sea una función de probabilidad tal que entonces .

Sea A un subconjunto de S tal que entonces

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
es llamado el operador de la transformada de Laplace.

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CAUCHY

CAUCHY

Biografía

(París, 1789-Sceaux, Francia, 1857) Matemático francés. Era el mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista, que hubo de retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Allí sobrevivieron de forma precaria, por lo que Cauchy creció desnutrido y débil. 

Fue educado en casa por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos. A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingeniería civil, donde se graduó tres años después. 

Su primer trabajo fue como ingeniero militar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro años volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de Fermat que había superado a Euler y Gauss. 

Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas. En 1830 se exilió en Turín, donde trabajó como profesor de física matemática hasta que regresó a París (1838). Pasó el resto de su vida enseñando en La Sorbona. 

Publicó un total de 789 trabajos, entre los que se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann. Su extensa obra introdujo y consolidó el concepto fundamental de rigor matemático.

 

                                 

Obra

En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.

Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente.

 Teorema de Cauchy (teoría de grupos)

El Teorema de Cauchy es un caso particular de los Teoremas de Sylow. Afirma que para todo grupo finito G, si existe un primo p que divide al orden del grupo (donde el orden del grupo es el número de elementos de G), entonces existe un elemento a de G que tiene orden p (donde el orden de a es el menor entero positivo k tal que a^k = e, siendo e el elemento unidad de G)

 Reconocimientos

• 1832: Miembro de la Royal Society
• 1845: Miembro de la Royal Society of Edinburgh
• Es uno de los 72 científicos cuyo nombre figura inscrito en la Torre Eiffel.
• Existe un cráter lunar con su nombre: el cráter Cauchy.

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PASCAL

PASCAL

Biografía

(Blaise o Blas Pascal; Clermont-Ferrand, Francia, 1623 - París, 1662) Filósofo, físico y matemático francés. Genio precoz y de clara inteligencia, su entusiasmo juvenil por la ciencia se materializó en importantes y precursoras aportaciones a la física y a las matemáticas. En su madurez, sin embargo, se aproximó al jansenismo, y, frente al racionalismo imperante, emprendió la formulación de una filosofía de signo cristiano (truncada por su prematuro fallecimiento), en la que sobresalen especialmente sus reflexiones sobre la condición humana, de la que supo apreciar tanto su grandiosa dignidad como su mísera insignificancia.

 

Su madre falleció cuando él contaba tres años, a raíz de lo cual su padre se trasladó a París con su familia (1630). Fue un genio precoz a quien su padre inició muy pronto en la geometría e introdujo en el círculo de Mersenne, la Academia, a la que su progenitor pertenecía. Allí Pascal se familiarizó con las ideas de Girard Desargues y en 1640 redactó su Ensayo sobre las cónicas (Essai pour les coniques), que contenía lo que hoy se conoce como teorema del hexágono de Pascal.

La designación de su padre como comisario del impuesto real supuso el traslado a Ruán, donde Pascal desarrolló un nuevo interés por el diseño y la construcción de una máquina aritmética para facilitarle el trabajo a su padre. La máquina, que sería llamada Pascaline, era capaz de efectuar sumas y restas con simples movimientos de unas ruedecitas metálicas situadas en la parte delantera; las soluciones aparecían en unas ventanas situadas en la parte superior. Se conservan todavía varios ejemplares del modelo que ideó, algunos de cuyos principios se utilizaron luego en las modernas calculadoras mecánicas. 

En Ruán comenzó Pascal a interesarse también por la física, en especial por la hidrostática, y emprendió sus primeras experiencias sobre el vacío; intervino en la polémica en torno a la existencia del horror vacui en la naturaleza y realizó importantes experimentos (en especial el de Puy de Dôme en 1647) en apoyo de la explicación dada por Torricelli al funcionamiento del barómetro.

Entretanto, en 1645 había abrazado el jansenismo, un movimiento reformista católico que, basándose en la doctrina de San Agustín sobre la gracia y el pecado original, propugnaba un mayor rigorismo moral. Una enfermedad indujo a Pascal a regresar a París en el verano de 1647. Los médicos le aconsejaron distracción e inició un período mundano que terminó con su experiencia mística del 23 de noviembre de 1654, su segunda conversión; convencido de que el camino hacia Dios estaba en el cristianismo y no en la filosofía, Blaise Pascal suspendió su trabajo científico casi por completo.

Pocos meses antes, como testimonia su correspondencia con Fermat, se había ocupado de las propiedades del triángulo aritmético hoy llamado de Pascal y que da los coeficientes de los desarrollos de las sucesivas potencias de un binomio; su tratamiento de dicho triángulo en términos de una «geometría del azar» convirtió a Pascal en uno de los fundadores del cálculo matemático de probabilidades.

En 1658, al parecer con el objeto de olvidarse de un dolor de muelas, Pascal elaboró su estudio de la cicloide, que resultó un importante estímulo en el desarrollo del cálculo diferencial. Desde 1655 frecuentó el más importante centro jansenista, la abadía de Port-Royal, en la que se había retirado su hermana Jacqueline en 1652. Tomó partido en favor de Antoine Arnauld, el general de los jansenistas, y publicó anónimamente sus Provinciales (1656-1657), conjunto de dieciocho cartas en las que defendió el jansenismo de los ataques de los jesuitas.

El éxito de las cartas lo llevó a proyectar una apología de la religión cristiana; el deterioro de su salud a partir de 1658 frustró, sin embargo, el proyecto, y las notas dispersas relativas a él quedaron más tarde recogidas en sus famosos Pensamientos (Pensées sur la religion et sur quelques autres sujets, 1669). Aunque Pascal rechazó siempre la posibilidad de establecer pruebas racionales de la existencia de Dios, cuya infinitud consideró inabarcable para la razón, admitió no obstante que esta última podía preparar el camino de la fe para combatir el escepticismo.

De este modo, la tensión de su pensamiento entre la ciencia y la religión quedó reflejada en su admisión de dos principios del conocimiento: la razón (esprit géométrique), orientada hacia las verdades científicas y que procede sistemáticamente a partir de definiciones e hipótesis para avanzar demostrativamente hacia nuevas proposiciones, y el corazón (esprit de finesse), que no se sirve de procedimientos sistemáticos porque posee un poder de comprensión inmediata, repentina y total, en términos de intuición. En esta última se halla la fuente del discernimiento necesario para elegir los valores en que la razón debe cimentar su labor.

 

Teorema de Pascal

"Si un hexágono arbitrario ABCDEF se encuentra inscrito en alguna sección cónica, y se extienden los pares de lados opuestos hasta que se cruzan, los tres puntos OPQ en los que se intersecan se encontrarán ubicados sobre una línea recta", denominada la recta de Pascal de esta configuración.

En su configuración más clásica, el teorema se suele visualizar sobre un hexágono cíclico inscrito en una elipse.

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada regla de Pascal). Si

entonces

 

para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n.

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EULER

LEONHARD EULER

Biografía

(Basilea, Suiza, 1707 - San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas. 

A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales). 

En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos. 

En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783. 

A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus Lettres à une princesse d'Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo. 

De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos -resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar-, así como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa solar. Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia.

Obra

Euler trabajó prácticamente en todos los ámbitos de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, hizo aportaciones relevantes a la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.
Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia, comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes. Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10% de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.

Se cree que fue el que dio origen al pasatiempos Sudoku creando una serie de pautas para el cálculo de probabilidades.

Notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.

También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra para hacer referencia a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.

El número e

Euler definió la constante matemática conocida como número como aquel número real tal que el valor de la derivada (la pendiente de la línea tangente) de la función ^x en el punto es exactamente 1. Es más, es el número real tal que la función ^x se tiene como derivada a sí misma. La función ^x es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural o logaritmo en base .

El número puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, tiene como forma el límite:

 

 

y también la serie:

 

Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:

 

 

Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de la función arcotangente. Su atrevido, aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735, por el cual quedaba demostrado que:

 

 

 

 

Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los logaritmos. También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:

 

 

Siendo un caso especial de la fórmula (cuando = ), lo que se conoce como la identidad de Euler:

 

 

Esta fórmula fue calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1, , y π, mediante la relación binaria más importante. En 1988, los lectores de la revista especializada The Mathematical Intelligencer votaron la fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia». En total, Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta.

Además de eso, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentes (aquellas que no se basan en operaciones algebraicas) mediante la introducción de la función gamma, e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado. También descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que sería en adelante el moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que serían llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas teóricos de carácter numérico. Con ello, Euler unió dos ramas separadas de las matemáticas para crear un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números. Para ello, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas, las series q, las funciones hiperbólicas trigonométricas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró que la cantidad de números primos es infinita utilizando la divergencia de series armónicas, y utilizó métodos analíticos para conseguir una mayor información sobre cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de números naturales. El trabajo de Euler en esta área llevaría al desarrollo del teorema de los números primos.

Matemática aplicada

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni:

 

 

Por otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas sobre la música. En 1739 escribió su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atención del público, y llegó a ser descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.

Reconocimientos y honores

• Euler es conmemorado por la Iglesia Luterana en su Calendario de Santos el 24 de mayo, en su condición de devoto cristiano (creyente en la infalibilidad de la Biblia) y de apologista convencido contrario al ateísmo creciente de su época.
• Varias calles de ciudades de todo el mundo llevan su nombre, como sucede en París (Francia), Basilea (Suiza), Binzen (Alemania), México, D.F. (México), Buenos Aires (Argentina), Padua (Italia) o Englewood (Estados Unidos).
• En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos.
• Numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos llevan su efigie.
• El cŕater lunar Euler recibió ese nombre en su honor.
• El asteroide (2002) Euler también debe su nombre al gran matemático.

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